Operações com Números Naturais[1]
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: SIGNIFICADOS
O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais. A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se a seguinte situação:
“João possuía 8 figurinhas e ganhou mais algumas num jogo. Agora ele tem 13 figurinhas”1.
Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar que a descoberta de quantas figurinhas João ganhou, às vezes, é encontrada pela aplicação de um procedimento aditivo, e, outras vezes, subtrativo.
Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona.
Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do que aqueles que envolvem subtração.
Mas a análise de determinadas situações pode mostrar o contrário:
— Carlos deu 5 figurinhas a José e ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas figurinhas Carlos tinha inicialmente?
— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5 figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas ele ficou? O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral se apresenta como mais difícil do que o segundo, que frequentemente é resolvido por uma subtração.
Pelo aspecto do cálculo, adição e subtração também estão intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 - 26, alguns alunos recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois 6; outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.
A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.
1. As situações que aparecem como exemplos neste texto têm apenas a função de evidenciar os aspectos fundamentais e as diferenças existentes entre os significados das operações. No trabalho escolar, elas devem estar incorporadas a outras, mais ricas, contextualizadas, que possibilitem interpretação, análise, descoberta e verificação de estratégias.
Dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas nesses dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:
Num primeiro grupo, estão as situações associadas à ideia de combinar dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação de “juntar”.
Exemplo:
— Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe?
A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a pergunta. As novas situações são comumente identificadas como ações de “separar/tirar”. Exemplos:
— Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos. Quantos meninos há nessa classe?
— Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?
Num segundo grupo, estão as situações ligadas à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positiva ou negativa.
Exemplos:
— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação positiva).
— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa).
Cada uma dessas situações pode gerar outras:
— Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas figurinhas ele possuía?
— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas ele ganhou?
— No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no início do jogo?
— No início de um jogo Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo?
Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à ideia de comparação.
Exemplo:
— No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?
Se se alterar a formulação do problema e a proposição da pergunta, incorporando ora dados positivos, ora dados negativos, podem-se gerar várias outras situações:
— Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?
— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas tem Carlos?
Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de mais de uma transformação (positiva ou negativa).
Exemplo:
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?
Também neste caso as variações positivas e negativas podem levar a novas situações:
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?
— Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?
Embora todas estas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que no início da aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos por meio de tentativas, explorações e reflexões.
Desse modo, o trabalho com as operações deve ser planejado coletivamente pelos professores, não apenas para ser desenvolvido nos dois primeiros ciclos, mas também na quinta e sexta séries.
Algoritmo[2]
Um algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa tarefa. Convivemos com vários tipos de algoritmos – alguns são muito simples, como ligar uma televisão (basta achar o botão correto e pressioná-lo); outros mais elaborados, como uma receita culinária (devemos organizar os ingredientes e, em ordem, executar as etapas); há outros, ainda, que exigem um bom tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para poder executá-los independentemente, como dirigir um automóvel. Quando nos deparamos com um algoritmo em nosso cotidiano, é comum precisar de ajuda nas primeiras tentativas de utilizá-lo. Além disso, se não compreendermos o algoritmo, vamos acabar usando-o mecanicamente, sem nenhuma autonomia, apenas seguindo instruções (pense, por exemplo, no formulário da declaração do Imposto de Renda). De forma similar, quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em inúmeras situações do dia-a-dia, que exigem autonomia de decisões sobre “que cálculo fazer” e “como fazê-lo”.
Dentre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações ocupam lugar de destaque.
Explorando as vantagens do Sistema Decimal de Numeração, eles foram idealizados para permitir a realização dos cálculos com exatidão e com razoável velocidade.
O Algoritmo da Adição
Você já teve a oportunidade de analisar atividades que preparam o aluno para adicionar corretamente, incluindo aquelas voltadas para a compreensão do sistema de numeração – ou seja, estamos propondo adiar um pouco a introdução do algoritmo. Agora, vamos discutir brevemente nossos motivos para propor que você considere esta forma de trabalhar.
Em primeiro lugar, a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente não se adquire de uma só vez, pois requer tempo e prática. Por isso, o algoritmo da adição só deve ser apresentado às crianças quando elas já dominarem, com certa segurança, o conceito da operação, os fatos básicos e o sistema de numeração.
É importante ainda ficar claro que não estamos fazendo um bom uso do algoritmo quando solicitamos a uma criança, um “arme e efetue” em adições como “5+2=” ou “8+7=”. Os resultados destas adições são fatos básicos e o algoritmo da adição não ajuda a criança a efetuar a operação. Nesses casos, é mais adequada a resolução por meio do cálculo mental (iniciando o processo de memorização com o auxílio de materiais de contagem). Na verdade, para que a criança utilize bem o algoritmo quando for operar com as representações dos números dispostas em colunas, ela precisará de boas estratégias mentais para determinar os resultados das adições de números de um algarismo.
Finalmente, consideramos que no processo de construção do algoritmo da adição, é recomendável que os primeiros exemplos já envolvam adições com “reservas”, ou seja, aquelas em que a soma das unidades isoladas é maior que nove, sendo necessário fazer um agrupamento para a casa das dezenas. Trabalhando com “reserva” desde o início, o aluno compreende porque é necessário começar a operar pelas unidades, isto é, da direita para a esquerda, o que contraria seus hábitos de leitura. Por outro lado, ao trabalharmos os primeiros exemplos sem reservas, o resultado da operação será o mesmo se operarmos da esquerda para direita ou vice-versa. Tal estratégia não permite ao aluno perceber que, na utilização do algoritmo, há uma nítida vantagem em se iniciar o processo pela ordem das unidades.
O olhar dos alunos
A seguir, apresentamos o registro de Bruno para efetuar a operação 920 – 709
Expliquem o pensamento de Bruno. O que ele acerta? O que ele erra?
O algoritmo da subtração e a ação de retirar
Ao iniciarmos o algoritmo da subtração, devemos usar, como na adição, materiais de contagem e o QVL. Lembramos que, dentre as ações associadas à subtração, a mais natural para a criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da subtração usando esta ideia.
Para representar com material concreto a ideia de retirar, a criança deve separar, de seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o minuendo. A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que corresponde ao subtraendo. A ação de retirar, da coleção de objetos que representa o minuendo, uma quantidade correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido quando trabalhamos com apenas uma mesma coleção de objetos. Retiramos algo daquilo que temos!
Por meio de exemplos, vamos estudar como atividades que exploram a ação de retirar podem ser desenvolvidas concretamente.
Exemplo 1
Enuncie, oralmente, uma situação–problema envolvendo a ação de retirar. Como exemplo vamos retirar 13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um QVL, como na figura
A seguir. Você pode construir em papel pardo, por exemplo, quadros com apenas duas linhas para que os alunos, ou grupos de alunos, trabalhem independentemente.
Diga aos alunos:
- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.
- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a quantidade que você precisa tirar”.
- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha? ”
- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou de
25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!) ”.
Por meio de conversas como a que exemplificamos, mostre às crianças que a quantidade de palitos da segunda linha representa o que foi retirado (subtraendo), e que a quantidade que sobrou na primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–13=12.
Trabalhando com material concreto você pode propor diversas situações. Isto vai ajudar seu aluno a perceber a sequência de ações que compõe o algoritmo. A representação, no caderno, dos passos realizados com material concreto também é importante para que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o registro formal do algoritmo.
Usando o exemplo anterior, veja como você pode estimular esta associação entre o concreto e a representação escrita.
Após a representação do minuendo:
- “Vamos representar este número no caderno? ”
- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos
Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo):
- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade de palitos que foi retirada. ”
E para finalizar:
- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e anotar quantos palitos sobraram depois da retirada.”
Exemplo 2
É possível usar estas ideias em uma subtração na qual é preciso desfazer as dezenas rearrumando o minuendo. Crie uma situação problema para os alunos subtraírem 5 de 32.
Iniciamos por arrumar o minuendo na tabela.
Explique aos alunos que eles só possuem 2 unidades não agrupadas e por isso não podem retirar 5 unidades. No entanto, é importante que eles percebam que o número 32 possui trinta e duas unidades, e o que “atrapalha” a realização concreta da retirada é apenas a forma como os objetos estão organizados.
Assim, os alunos devem concluir que será preciso desfazer uma das dezenas (que contém 10 unidades). Após desamarrarem uma dezena e a passarem para a casa das unidades, os palitos ficarão com a seguinte disposição.
Esse é um bom momento para ajudá-los a perceber que o número representado continua sendo o mesmo (32). A decomposição é que mudou: a forma inicial (3 dezenas e 2 unidades) foi alterada para: 2 dezenas e doze unidades.
Pergunte aos alunos:
- “O número mudou?” (não) “Então, o que mudou?” (a forma de decompor)
- “Quantas unidades estão agora registradas na primeira ordem?” (12)
- “E agora, podemos tirar 5 unidades de 12 unidades?” (sim)
- “Com quantas unidades ainda ficamos?” (7)
- “Com quantas dezenas ainda ficamos?” (2)
Bem, agora é possível retirar 5 palitos dos que ficaram na ordem das unidades e o material fica com a disposição mostrada no quadro ao lado Observe que o registro escrito dos passos da operação pode ou não incluir a passagem na qual uma dezena foi desagrupada em 10 unidades.
Varie os materiais de contagem, pois isto ajuda o aluno a compreender o processo sem se fixar no material, o que possibilitará a necessária abstração.
O uso de material concreto facilita bastante a compreensão dos algoritmos e ajuda a consolidar a aprendizagem das características de nosso sistema de numeração. Numa etapa seguinte, você pode propor exemplos nos quais o zero aparece na casa das dezenas, como tirar 25 de 208.
Você poderá verificar como o uso de material concreto ajuda em situações como esta que costuma ser considerada difícil na operação de subtração.
Destacamos que a professora ou o professor deve, sempre que possível, conhecer e apresentar aos alunos mais de um procedimento. Possibilitar ao aluno a chance de experimentar diferentes ações é fundamental para que ele desenvolva o senso crítico e tenha o direito de escolher a estratégia com a qual mais se identifica, ou aquela que possibilita compreender melhor o que está fazendo. Muitas vezes, uma criança com dificuldade de compreender um procedimento ou conceito, resolve este obstáculo inicial quando é apresentada a outros caminhos ou formas de raciocinar.
Assim, sugerimos que você pesquise sobre como as ações de comparar e completar podem auxiliar o desenvolvimento de estratégias de cálculo para efetuar uma subtração.
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